第76章 我不知道
周六晚上八点，陈末准时打开手机，登录郑明阳发来的视频会议连结。
这是他们约定好的每周线上討论时间。
屏幕亮起，郑明阳的脸出现在画面中。
他戴著老花镜，背后的书架上密密麻麻全是数学典籍。
旁边还坐著赵一鸣，手里端著一杯茶，笑眯眯地看著镜头。
“陈末同学，这周布置的抽象代数看得怎么样了？”郑明阳开门见山。
陈末翻开笔记本，上面密密麻麻写满了推导。
“看到群论部分了。”他说，“定义和例子基本看懂了，但是……”
“但是什么？”
“我在想一个问题。”
陈末顿了顿，“群的同態基本定理说，g/kerφ? imφ。这个定理是不是可以推广到环？
如果φ是环同態，那么r/kerφ? imφ作为环同构吗？”
郑明阳和赵一鸣同时愣住了。
“你才看了一周，就开始琢磨环同態了？”赵一鸣差点把茶喷出来。
“呃……我在书上看到后面提到了环，就往前翻了翻。”
陈末挠头，“如果不对的话，您当我没问。”
“不，你问得很好。”
郑明阳深吸一口气，“这个推广是正確的，只要kerφ是环的理想，那么商环与像环同构。”
他顿了顿，忍不住问：“你之前真的没学过抽象代数？”
“真的没有。”
陈末诚恳地说，“上周您给我书之后才开始看的，看到第三章，觉得群和环的结构很像，就往前试著推了推。”
郑明阳与赵一鸣隔著屏幕对视一眼。
这种直觉，这种举一反三的能力，不是教的，是天生刻在脑子里的。
“好，那我们今天不按计划走了。”
郑明阳当机立断，“你把你这周看的內容，从头到尾给我讲一遍，我想听听你的理解。”
陈末也不怯场，翻开笔记本，开始讲。
“群是一个集合加上一个运算，满足封闭性、结合律、单位元、逆元。”
“最简单的例子是整数加法群，单位元是0，每个数的逆元是它的相反数。”
“对称群s_n是所有n元置换的集合，它不是交换群，因为先交换再交换和先换別的再换別的不一定一样。”
他讲得条理清晰，偶尔还自己举例子。
郑明阳越听越心惊。
不是因为这些內容有多深，这些都是一年级本科的內容。
而是因为陈末的理解方式，完全不是死记硬背，而是从骨子里长出来的。
他讲群时，是从对称这个概念出发的，而不是从定义出发。
他把抽象的结构和具体的例子融在一起，讲得生动鲜活。
“我有个问题。”
陈末忽然停下，“书上说，如果群g作用在集合x上，那么轨道的大小整除群的阶，这个我理解了，但我不知道这个结论有什么用？”
“太有用了。”
郑明阳笑了，“你知道burnside引理吗？它就是用来计数的。
比如，用n种顏色给一个正方体的六个面染色，有多少种不同的染法？
如果不考虑旋转，是n^6，但如果你把旋转视为群作用，就能用burnside引理算出真正不同的染法。”
“原来如此。”
陈末眼睛亮了，“所以群是一种对称操作的数学语言。”
“对！你抓住了本质。”
郑明阳有些激动，“很多学生学完整本教材都拎不清这句话，你一周就明白了。”
赵一鸣在旁边默默喝了口茶。
他想起自己当年学群论，花了整整一个月才想明白群是一种对称的语言这句话，而陈末，一周，自己悟出来的。
人比人，气死人。
討论继续。
陈末又问了几个问题，每一个都切中要害，每一个都让郑明阳更確信自己的眼光。
“郑教授，我还有个问题。”
“你说。”
“您上周给我的书里，提到了伽罗瓦理论，我翻了翻，没太看懂，但我大致知道，它讲的是域扩张和群之间的关係。”
“对，伽罗瓦理论是数学史上最伟大的理论之一，它把高次方程是否有根式解的问题转化成了一个群论问题。”
“我有个猜想。”
陈末的声音透过屏幕传来，带著一丝不確定，“如果域扩张的伽罗瓦群是可解群，那么对应的方程就有根式解。
反过来，如果伽罗瓦群不是可解的，比如五次以上的对称群，那方程就没有根式解，是这个意思吗？”
屏幕那头，郑明阳手中的笔啪嗒一声掉在桌上。
“你……”
他的声音有些发抖，“你看书看到这里了？”
“只是翻了翻，没完全懂。”
陈末老实说，“但您刚才讲burnside引理的时候，我忽然想到，那个对应关係是不是有点像，群作用在域上，然后不变量就是中间域？”
“对！非常对！”
郑明阳猛地拍了一下桌子，“伽罗瓦对应说的就是，中间域和子群之间有一一对应！”
赵一鸣凑到屏幕前，声音里带著不可思议，“陈末，你確定你之前没学过这些？”
“没有。”陈末摇头。
赵一鸣沉默了。
郑明阳心中也充满了震撼，过了好一会儿他才想起来，“对了，你这周有做我布置的习题吗？”
“做了。”
陈末把笔记本举到摄像头前。
满满二十页，每一道题都写了详细过程，有的题还附了两种解法。
郑明阳扫了一眼，眉头渐渐舒展，然后变成震惊，最后变成一种他许久未曾体验过的情绪，狂喜！
“这些题是我从研究生习题集里挑的。”
他喃喃道，“他竟然全做对了，而且有的解法比参考答案还简洁。”
赵一鸣在一旁补充：“还顺手把环同態定理推测出来了。”
两人对视一眼，都从对方眼中看到了同一个意思，这个学生，必须收！
“陈末同学。”郑明阳正色道，“我再问你最后一个问题。”
“您说。”
“你有没有考虑过，將来要做数学家？”
屏幕那头沉默了片刻。
然后，陈末说了一句让两位教授都没想到的话，“我不知道。”
“我一开始只是不想让父母失望，想考上好大学，后来学得多了，发现数学真的很美，每次理解一个定理，都像在黑暗中看到一束光。”
“所以我不会现在就给自己设限，数学家也好，工程师也好，只要是在探索未知，我就喜欢。”
郑明阳怔住了。
他带过很多学生，有人是为了好工作，有人是为了光宗耀祖，有人是真的热爱数学，但很少有人能像陈末这样不设限，只跟隨好奇心。
陈末的野心很大，但他能够驾驭吗？
郑明阳不知道，但陈末还年轻，还有足够多的试错空间。
“很好。”郑明阳笑了，“那我们就顺著你的好奇心教，你问什么，我们讲什么，不讲体系，不讲顺序，只讲你想知道的。”
“真的？”陈末眼睛一亮。
“真的。”赵一鸣也笑了，“反正以你的速度，自学也快得很，我们只是在旁边敲敲边鼓。”
屏幕上，少年露出了灿烂的笑容。
屏幕前，两位教授也笑了。
这是他们约定好的每周线上討论时间。
屏幕亮起，郑明阳的脸出现在画面中。
他戴著老花镜，背后的书架上密密麻麻全是数学典籍。
旁边还坐著赵一鸣，手里端著一杯茶，笑眯眯地看著镜头。
“陈末同学，这周布置的抽象代数看得怎么样了？”郑明阳开门见山。
陈末翻开笔记本，上面密密麻麻写满了推导。
“看到群论部分了。”他说，“定义和例子基本看懂了，但是……”
“但是什么？”
“我在想一个问题。”
陈末顿了顿，“群的同態基本定理说，g/kerφ? imφ。这个定理是不是可以推广到环？
如果φ是环同態，那么r/kerφ? imφ作为环同构吗？”
郑明阳和赵一鸣同时愣住了。
“你才看了一周，就开始琢磨环同態了？”赵一鸣差点把茶喷出来。
“呃……我在书上看到后面提到了环，就往前翻了翻。”
陈末挠头，“如果不对的话，您当我没问。”
“不，你问得很好。”
郑明阳深吸一口气，“这个推广是正確的，只要kerφ是环的理想，那么商环与像环同构。”
他顿了顿，忍不住问：“你之前真的没学过抽象代数？”
“真的没有。”
陈末诚恳地说，“上周您给我书之后才开始看的，看到第三章，觉得群和环的结构很像，就往前试著推了推。”
郑明阳与赵一鸣隔著屏幕对视一眼。
这种直觉，这种举一反三的能力，不是教的，是天生刻在脑子里的。
“好，那我们今天不按计划走了。”
郑明阳当机立断，“你把你这周看的內容，从头到尾给我讲一遍，我想听听你的理解。”
陈末也不怯场，翻开笔记本，开始讲。
“群是一个集合加上一个运算，满足封闭性、结合律、单位元、逆元。”
“最简单的例子是整数加法群，单位元是0，每个数的逆元是它的相反数。”
“对称群s_n是所有n元置换的集合，它不是交换群，因为先交换再交换和先换別的再换別的不一定一样。”
他讲得条理清晰，偶尔还自己举例子。
郑明阳越听越心惊。
不是因为这些內容有多深，这些都是一年级本科的內容。
而是因为陈末的理解方式，完全不是死记硬背，而是从骨子里长出来的。
他讲群时，是从对称这个概念出发的，而不是从定义出发。
他把抽象的结构和具体的例子融在一起，讲得生动鲜活。
“我有个问题。”
陈末忽然停下，“书上说，如果群g作用在集合x上，那么轨道的大小整除群的阶，这个我理解了，但我不知道这个结论有什么用？”
“太有用了。”
郑明阳笑了，“你知道burnside引理吗？它就是用来计数的。
比如，用n种顏色给一个正方体的六个面染色，有多少种不同的染法？
如果不考虑旋转，是n^6，但如果你把旋转视为群作用，就能用burnside引理算出真正不同的染法。”
“原来如此。”
陈末眼睛亮了，“所以群是一种对称操作的数学语言。”
“对！你抓住了本质。”
郑明阳有些激动，“很多学生学完整本教材都拎不清这句话，你一周就明白了。”
赵一鸣在旁边默默喝了口茶。
他想起自己当年学群论，花了整整一个月才想明白群是一种对称的语言这句话，而陈末，一周，自己悟出来的。
人比人，气死人。
討论继续。
陈末又问了几个问题，每一个都切中要害，每一个都让郑明阳更確信自己的眼光。
“郑教授，我还有个问题。”
“你说。”
“您上周给我的书里，提到了伽罗瓦理论，我翻了翻，没太看懂，但我大致知道，它讲的是域扩张和群之间的关係。”
“对，伽罗瓦理论是数学史上最伟大的理论之一，它把高次方程是否有根式解的问题转化成了一个群论问题。”
“我有个猜想。”
陈末的声音透过屏幕传来，带著一丝不確定，“如果域扩张的伽罗瓦群是可解群，那么对应的方程就有根式解。
反过来，如果伽罗瓦群不是可解的，比如五次以上的对称群，那方程就没有根式解，是这个意思吗？”
屏幕那头，郑明阳手中的笔啪嗒一声掉在桌上。
“你……”
他的声音有些发抖，“你看书看到这里了？”
“只是翻了翻，没完全懂。”
陈末老实说，“但您刚才讲burnside引理的时候，我忽然想到，那个对应关係是不是有点像，群作用在域上，然后不变量就是中间域？”
“对！非常对！”
郑明阳猛地拍了一下桌子，“伽罗瓦对应说的就是，中间域和子群之间有一一对应！”
赵一鸣凑到屏幕前，声音里带著不可思议，“陈末，你確定你之前没学过这些？”
“没有。”陈末摇头。
赵一鸣沉默了。
郑明阳心中也充满了震撼，过了好一会儿他才想起来，“对了，你这周有做我布置的习题吗？”
“做了。”
陈末把笔记本举到摄像头前。
满满二十页，每一道题都写了详细过程，有的题还附了两种解法。
郑明阳扫了一眼，眉头渐渐舒展，然后变成震惊，最后变成一种他许久未曾体验过的情绪，狂喜！
“这些题是我从研究生习题集里挑的。”
他喃喃道，“他竟然全做对了，而且有的解法比参考答案还简洁。”
赵一鸣在一旁补充：“还顺手把环同態定理推测出来了。”
两人对视一眼，都从对方眼中看到了同一个意思，这个学生，必须收！
“陈末同学。”郑明阳正色道，“我再问你最后一个问题。”
“您说。”
“你有没有考虑过，將来要做数学家？”
屏幕那头沉默了片刻。
然后，陈末说了一句让两位教授都没想到的话，“我不知道。”
“我一开始只是不想让父母失望，想考上好大学，后来学得多了，发现数学真的很美，每次理解一个定理，都像在黑暗中看到一束光。”
“所以我不会现在就给自己设限，数学家也好，工程师也好，只要是在探索未知，我就喜欢。”
郑明阳怔住了。
他带过很多学生，有人是为了好工作，有人是为了光宗耀祖，有人是真的热爱数学，但很少有人能像陈末这样不设限，只跟隨好奇心。
陈末的野心很大，但他能够驾驭吗？
郑明阳不知道，但陈末还年轻，还有足够多的试错空间。
“很好。”郑明阳笑了，“那我们就顺著你的好奇心教，你问什么，我们讲什么，不讲体系，不讲顺序，只讲你想知道的。”
“真的？”陈末眼睛一亮。
“真的。”赵一鸣也笑了，“反正以你的速度，自学也快得很，我们只是在旁边敲敲边鼓。”
屏幕上，少年露出了灿烂的笑容。
屏幕前，两位教授也笑了。