第8章 从底层逻辑解题
隨著李建国的声音，全班同学齐刷刷扭头看向了陈言。
张强也是同样有些诧异地看了眼陈言。
当看到答题卡上那可怜巴巴的分数时，他更诧异了，你都不会做这题，你摇什么头？
陈言同样有些懵，他迷茫地抬头看了看李建国。
李建国的眉毛拧成了川字，他倒不是故意刁难陈言，而是觉得陈言是把他早上的话都当成了耳旁风。
当即再次说道：“我记得这题你没做出来，既然不会，为什么別的同学在讲解的时候，你不好好听？”
陈言迎著李建国的目光站了起来，他的声音不大，很是平静。
“老师，首先我没有觉得他说的不对，也没有不好好听，其次这题我已经完全搞懂了……”
没等他的话说完，李建国便有些生气地打断道：“你都完全搞懂了？你完全搞懂了，答题卡上只有第一问的答案？”
似乎是为了让陈言结实吃一个教训，他紧跟著又说道：“既然你都搞懂了，那好，你上来，在黑板上把这道题写一下，我倒要看看你到底是真懂了，还是不懂装懂！”
这一刻，全班同学都屏住了呼吸，他们没想到，这才过了一晚，陈言居然又惹到了老李。
离陈言坐的较近的同学，为了不耽误上课时间，已经低声催促著他赶紧认错。
但和这些同学不同的是，以前遇到这种情况，朱理往往会在桌底下拉住陈言。
可这次却没有。
相反，朱理的表情变得有点古怪。
要说这次试卷上的其它题，他可能不太了解，但要说这道第18题。
他昨晚可是亲眼看到陈言做出来的！
他现在还记得自己当时震惊的心情呢。
“行了，別耽误大家的时间了，我希望你认真听一下这道题是怎么做……”
李建国见目的已经达到，便准备重新回到试卷上。
可他没想到，话还没说完，陈言竟真的离开座位，朝讲台上走了过来。
在李建国和一眾同学诧异的目光中，陈言没有丝毫停顿，来到黑板前就拿起粉笔写了起来。
略过了他唯一写在答题卡上的第一问，直接从第二问的猜想通项公式並用数学归纳法证明开始。
这一问的答案其实比较固定，所猜想的通项公式也不难，唯一的难点可能就是对数学归纳法的掌握程度。
而数学归纳法正是陈言目前吃的最透的內容。
於是，他並没有著急去证明这题的答案，而是从数学归纳法的底层逻辑开始解答这题。
看著黑板上和昨晚明显有些不同解题步骤，朱理顿时茫然了起来。
不对啊哥们，这怎么和昨晚写的不一样？
该不会昨晚那个答案不是……不应该啊，那言子怎么敢上去的？
不止是朱理，全班同学此刻的想法都差不多，他们开始认为陈言是在乱写。
只有李建国的表情不太一样，他看懂了陈言写的东西，大概也明白了陈言的想法。
果然，在数学归纳法的底层逻辑闭环之后，陈言转到了通项公式的证明。
而有了前面的铺垫，这里的证明就变成了李建国口中一直说的“送分的”。
也直到这时候，全班同学都看明白了。
不过，他们並没有太过在意，毕竟这道题的第二问也不难，真正有难度的是第三问。
尤其是像张强这些本就成绩好的人，更是觉得陈言多此一举。
明明直接用数学归纳法就行了，还回头去多写一点，真是显得你吗？
有本事你第三问也写出花来？
和他们想法不同的是，此刻看了一遍黑板上內容的朱理，忽然明白了陈言那句“底层逻辑”的话。
他也终於感受到，陈言变了，好像真的开窍了。
陈言並不知道班上同学的想法，他在写完第二问的完整证明后，稍微停顿了一下。
在看了眼第三问的题目后，才又开始写下去。
第三问是证明对任意n∈n*，1/a1+1/a2+...+1/an＜2。
这一问其实用等比放缩或者递推放缩的方法，是能很快证明的。
但沿著第二问的思路，陈言並没有拐到放缩法上，而是在数学归纳法上继续深入。
他直接对原不等式归纳不易传递，列出了一个更强的命题。
【k=1→n∑1/ak≤2-1/(2^n-1)。
当n=1时……等號成立。
假设n=m时成立，即……
由归纳法，对一切n∈n*，新命题成立，则原不等式得证！】
当陈言写完第三问后，朱理立马一副我就知道的表情。
全班其他同学则是表情各异，有震惊，有诧异，有无所谓，也有质疑。
还有人甚至在小声嘀咕：“他该不会去网上查答案了吧？我怎么看他写的和张强说的不一样？”
“有可能，你没听老李说，考试时他就只写了第一问吗？怎么可能一下子就做出来了？”
李建国瞪了一眼这些小声说话的同学，他虽然同样有些惊讶，但对於陈言的解题逻辑，却是完全看懂了。
简单来说，就是从数学归纳法的底层逻辑开始，一步步完成了问题的解答。
他不由得想到了昨晚周建民给他看的那张纸，可那张纸上的理解没有这么深啊？
难道这小子一晚上又往下学了这么多？那自己早上的话不是……
就在李建国內心复杂，想著该怎么处理时。
原本停笔的陈言，却是又走到一块空白的黑板前，继续写了起来。
黑板上，他新写內容的思路，是顺著这道题的，但是底层逻辑的闭环，却是跳到了实数的完备性上。
这是实数的严格定义后，他要完成的下一步的內容。
如果搁在昨天，哪怕是今天早读课之前，他大概都不会跳过来。
但现在，他刚好到了这一步，而这道题，也能用实数完备性证明。
【……由实数完备性，对任意ixi＜1，则有j=0→∞∑x^j≤1/(1-x)……】
这种方法的证明，陈言写的就要慢了许多，但手中粉笔落在黑板上的字跡却是很稳。
见陈言写完后没有下来，反而又开始写了起来的同学们，则是有些懵逼地看著黑板上的內容。
如果说刚才从数学归纳法推过来的证明，他们还能看得懂，甚至看得很熟悉的话。
那现在这个，利用什么实数的完备性来证明的內容，他们就有些不明所以了。
原先还小声嘀咕著陈言是不是去网上查答案的同学，也张大了嘴巴，满脸的震惊。
能把这些他看不懂的內容写出来，並且是当著老李的面写出来，怎么可能是去网上查答案？
朱理也是一脸见鬼的表情，在陈言安稳写完答案后，他都打算鼓掌了，却没想到这傢伙还要再展示展示？
前排一直盯著黑板的张强，此刻震惊之余，则是有些说不清道不明的意味。
他完全没想到，陈言看得那些东西真能用得上，而且还真把第三问也写出花来了……
张强也是同样有些诧异地看了眼陈言。
当看到答题卡上那可怜巴巴的分数时，他更诧异了，你都不会做这题，你摇什么头？
陈言同样有些懵，他迷茫地抬头看了看李建国。
李建国的眉毛拧成了川字，他倒不是故意刁难陈言，而是觉得陈言是把他早上的话都当成了耳旁风。
当即再次说道：“我记得这题你没做出来，既然不会，为什么別的同学在讲解的时候，你不好好听？”
陈言迎著李建国的目光站了起来，他的声音不大，很是平静。
“老师，首先我没有觉得他说的不对，也没有不好好听，其次这题我已经完全搞懂了……”
没等他的话说完，李建国便有些生气地打断道：“你都完全搞懂了？你完全搞懂了，答题卡上只有第一问的答案？”
似乎是为了让陈言结实吃一个教训，他紧跟著又说道：“既然你都搞懂了，那好，你上来，在黑板上把这道题写一下，我倒要看看你到底是真懂了，还是不懂装懂！”
这一刻，全班同学都屏住了呼吸，他们没想到，这才过了一晚，陈言居然又惹到了老李。
离陈言坐的较近的同学，为了不耽误上课时间，已经低声催促著他赶紧认错。
但和这些同学不同的是，以前遇到这种情况，朱理往往会在桌底下拉住陈言。
可这次却没有。
相反，朱理的表情变得有点古怪。
要说这次试卷上的其它题，他可能不太了解，但要说这道第18题。
他昨晚可是亲眼看到陈言做出来的！
他现在还记得自己当时震惊的心情呢。
“行了，別耽误大家的时间了，我希望你认真听一下这道题是怎么做……”
李建国见目的已经达到，便准备重新回到试卷上。
可他没想到，话还没说完，陈言竟真的离开座位，朝讲台上走了过来。
在李建国和一眾同学诧异的目光中，陈言没有丝毫停顿，来到黑板前就拿起粉笔写了起来。
略过了他唯一写在答题卡上的第一问，直接从第二问的猜想通项公式並用数学归纳法证明开始。
这一问的答案其实比较固定，所猜想的通项公式也不难，唯一的难点可能就是对数学归纳法的掌握程度。
而数学归纳法正是陈言目前吃的最透的內容。
於是，他並没有著急去证明这题的答案，而是从数学归纳法的底层逻辑开始解答这题。
看著黑板上和昨晚明显有些不同解题步骤，朱理顿时茫然了起来。
不对啊哥们，这怎么和昨晚写的不一样？
该不会昨晚那个答案不是……不应该啊，那言子怎么敢上去的？
不止是朱理，全班同学此刻的想法都差不多，他们开始认为陈言是在乱写。
只有李建国的表情不太一样，他看懂了陈言写的东西，大概也明白了陈言的想法。
果然，在数学归纳法的底层逻辑闭环之后，陈言转到了通项公式的证明。
而有了前面的铺垫，这里的证明就变成了李建国口中一直说的“送分的”。
也直到这时候，全班同学都看明白了。
不过，他们並没有太过在意，毕竟这道题的第二问也不难，真正有难度的是第三问。
尤其是像张强这些本就成绩好的人，更是觉得陈言多此一举。
明明直接用数学归纳法就行了，还回头去多写一点，真是显得你吗？
有本事你第三问也写出花来？
和他们想法不同的是，此刻看了一遍黑板上內容的朱理，忽然明白了陈言那句“底层逻辑”的话。
他也终於感受到，陈言变了，好像真的开窍了。
陈言並不知道班上同学的想法，他在写完第二问的完整证明后，稍微停顿了一下。
在看了眼第三问的题目后，才又开始写下去。
第三问是证明对任意n∈n*，1/a1+1/a2+...+1/an＜2。
这一问其实用等比放缩或者递推放缩的方法，是能很快证明的。
但沿著第二问的思路，陈言並没有拐到放缩法上，而是在数学归纳法上继续深入。
他直接对原不等式归纳不易传递，列出了一个更强的命题。
【k=1→n∑1/ak≤2-1/(2^n-1)。
当n=1时……等號成立。
假设n=m时成立，即……
由归纳法，对一切n∈n*，新命题成立，则原不等式得证！】
当陈言写完第三问后，朱理立马一副我就知道的表情。
全班其他同学则是表情各异，有震惊，有诧异，有无所谓，也有质疑。
还有人甚至在小声嘀咕：“他该不会去网上查答案了吧？我怎么看他写的和张强说的不一样？”
“有可能，你没听老李说，考试时他就只写了第一问吗？怎么可能一下子就做出来了？”
李建国瞪了一眼这些小声说话的同学，他虽然同样有些惊讶，但对於陈言的解题逻辑，却是完全看懂了。
简单来说，就是从数学归纳法的底层逻辑开始，一步步完成了问题的解答。
他不由得想到了昨晚周建民给他看的那张纸，可那张纸上的理解没有这么深啊？
难道这小子一晚上又往下学了这么多？那自己早上的话不是……
就在李建国內心复杂，想著该怎么处理时。
原本停笔的陈言，却是又走到一块空白的黑板前，继续写了起来。
黑板上，他新写內容的思路，是顺著这道题的，但是底层逻辑的闭环，却是跳到了实数的完备性上。
这是实数的严格定义后，他要完成的下一步的內容。
如果搁在昨天，哪怕是今天早读课之前，他大概都不会跳过来。
但现在，他刚好到了这一步，而这道题，也能用实数完备性证明。
【……由实数完备性，对任意ixi＜1，则有j=0→∞∑x^j≤1/(1-x)……】
这种方法的证明，陈言写的就要慢了许多，但手中粉笔落在黑板上的字跡却是很稳。
见陈言写完后没有下来，反而又开始写了起来的同学们，则是有些懵逼地看著黑板上的內容。
如果说刚才从数学归纳法推过来的证明，他们还能看得懂，甚至看得很熟悉的话。
那现在这个，利用什么实数的完备性来证明的內容，他们就有些不明所以了。
原先还小声嘀咕著陈言是不是去网上查答案的同学，也张大了嘴巴，满脸的震惊。
能把这些他看不懂的內容写出来，並且是当著老李的面写出来，怎么可能是去网上查答案？
朱理也是一脸见鬼的表情，在陈言安稳写完答案后，他都打算鼓掌了，却没想到这傢伙还要再展示展示？
前排一直盯著黑板的张强，此刻震惊之余，则是有些说不清道不明的意味。
他完全没想到，陈言看得那些东西真能用得上，而且还真把第三问也写出花来了……